Concepto y partes de una ecuación de
primer grado.
Una ecuación es una
igualdad entre dos expresiones algebraicas. Por ejemplo
x+1=6
La letra x es la incógnita de la
ecuación y representa al número desconocido que hace que la igualdad sea verdadera.
Resolver la ecuación consiste en encontrar este número, llamado solución de
la ecuación.
La solución de la ecuación anterior es
5 porque al escribir 5 en el lugar de x se obtiene una
igualdad cierta:
5+1=6
Una ecuación es de primer grado cuando
- La
incógnita no tiene exponente. Es decir, siempre aparece como x o cualquier otra
literal (a, b, c, etc.) y no de otra forma como x²
Algunas cosas a tener en cuenta:
La incógnita sí puede ir precedida de
un número llamado coeficiente, por ejemplo, 2x, pero este número sólo multiplica a la
incógnita: 2x significa 2⋅ x, esto es, 2 veces x.
En las ecuaciones tenemos dos
tipos de monomios: números y números acompañados por la incógnita x. Como son distintos, las sumas y las
restas deben realizarse por separado.
Puede ser útil considerar que los
números sin la x son peras y los que van acompañados
de x son manzanas. Está claro que no
podemos sumar peras y manzanas porque son frutas distintas, pero sí podemos
sumar peras con peras y manzanas con manzanas.
Ejemplos:
Podemos sumar 11 y 22 porque son del mismo tipo
(números):
1+2=3
1 pera + 2 peras = 3
peras
No podemos sumar 1 y 2x porque no son del mismo tipo, o dicho de otra
manera, no son términos semejantes.
No podemos sumar 1 pera y 2 manzanas.
Podemos sumar 4x y 3x porque son del mismo tipo:
4x+3x=7x
4 manzanas + 3 manzanas = 7 manzanas
3 + x −2= 3+1
En el
lado izquierdo tenemos los números 3 y -2 que se pueden restar. Los quitamos y
escribimos el resultado de la operación: 3-2 = 1
1
+ x = 3 + 1
Hacemos
lo mismo en el lado derecho con 3 y 1 (sumando):
1+x=4
Ahora
es el momento de cambiar de lado algunos elementos. Dejaremos las incógnitas en
el lado izquierdo.
Los
elementos que suman en un lado pasan restando al otro y viceversa.
El 1
de la izquierda está sumando, así que lo escribimos en la derecha restando:
x=4−1
Restamos
el 4 y el 1 de la derecha:
x = 3
Comprobamos en la ecuación
simplificada y nos queda:
1 + x = 4, sustituyendo el 3 en la x, tenemos: 1 + 3 = 4
2x + 4 + 3x −1 = 7x −2 − x
En el lado izquierdo sumamos 2x y 3x:
5x+4−1=7x−2−x
En el derecho, sumamos 7x y −x:
5x+4−1=6x−2
En el lado izquierdo sumamos 4 y −1:
5x+3=6x−2
Pasamos el 6x de
la derecha a la izquierda restando:
5x+3−6x=−2
Sumamos 5x y −6x:
3−x=−2
Pasamos el 2 de la derecha a la izquierda sumando:
3−x+2=0
En el lado izquierdo sumamos 3 y 2:
5−x=0
Pasamos la x a la derecha para que sea positiva:
5=x
La solución de la ecuación es 5, x = 5.
Lenguaje algebraico
El
lenguaje algebraico es el lenguaje matemático que utiliza números, letras y signos
matemáticos (como +, -, ·, etc.). En este apartado vamos a ver la traducción
del lenguaje natural (español) al lenguaje algebraico.
A la
hora de resolver un problema, tenemos que poder plantear el problema en
lenguaje matemático para poder resolverlo.
Si x es
un número, su doble se calcula multiplicándolo por 2. Por tanto, el doble
de x es 2⋅x, que es lo mismo que 2x.
Del
mismo modo, el triple, cuádruple, quíntuple son
·
3x (triple)
·
4x (cuádruple)
·
5x (quíntuple)
Fracción
(mitad, cuarta parte...)
La
mitad de un número se calcula dividiendo entre 2. Luego la mitad de x es x/2
Esta
operación es la misma que multiplicar por un medio:(1/2)x
De
forma similar,
·
la tercera parte de x es x/3
·
la cuarta parte de x es x/4
·
las dos terceras partes de x son: (2/3) x
·
las tres quintas partes de x son: (3/5) x
Porcentajes
El
tanto por ciento de un número se calcula multiplicando por el porcentaje y
dividiendo entre 100. Así,
·
el 20% de x es (20/100) x
·
el 50% de x es (50/100) x
·
el
85% de x es (85/100) x
Problemas
1.- Un
número más 16 es igual al triple de dicho número. ¿Qué número es?
El
número que buscamos es x. Su triple es 3x. Como
el número x más 16 es igual al triple de x, la ecuación es
x+16=3x
Pasamos
la x de
la izquierda restando a la derecha:
16=3x−x
16=2x
El
coeficiente 2 de x pasa dividiendo al otro lado:
x= 16/2
x=8
El
número buscado es 8.
2.- ¿Qué
dos números consecutivos suman 27?
Si x es el menor de los números, su
consecutivo es x+1. Como
la suma de los dos tiene que ser 27, entonces
x+x+1=27
Resolvemos
la ecuación:
2x+1=27
2x=27−1
2x=26
x= =13
Por
tanto, los números son 13 y 14.
3.- Si
Rosa tiene 3 años más que su hermana y sus edades suman 17, ¿qué edad tiene
Rosa?
4.-
Calcular la edad de Pablo si dentro de 12 años su edad será el triple de la que
tiene ahora.
A
continuación, resuelvan otras 5 ecuaciones de la misma dificultad que las
anteriores para seguir practicando.
5−3x=x+1
5−x=x−1
4x−x=2x−5
3x−3=x+3
5x−2=3x+1
Para
una mayor comprensión consulta los siguientes links:
https://es.khanacademy.org/math/algebra-i-pe-pre-u/xcf551cef49d842ce:ecuaciones-lineales (Dar clik al enlace de azul)
https://www.youtube.com/watch?v=jUV068nwxM4
ATENCIÓN! LA ENTREGA DE LAS ACTIVIDADES CORRESPONDIENTES DEL LIBRO Y CUADERNO SERÁ PARA EL 20 Y 21 DE ABRIL
ATENCIÓN! LA ENTREGA DE LAS ACTIVIDADES CORRESPONDIENTES DEL LIBRO Y CUADERNO SERÁ PARA EL 20 Y 21 DE ABRIL
Hola buenas noches disculpe profesor estos apuntes irían en la libreta de matemáticas?
ResponderBorrarHOLA BUENAS TARDES PROFESOR FERNANDO LO QUE VAMOS A RESOLVER ES LO QUE DICE PROBLEMAS
ResponderBorrarHola profesor lo que esta ahi lo vamos a anotar en la libreta
ResponderBorrar